時期的には、読書メーターホームページの大幅リニューアルの際に連携が一度おかしくなったと思われます。facebook側にID、パスワードを渡す先が変わってしまったと認識されてもおかしくはないので、セキュリティ上仕方ない動きだったのかなと思っています。（他サイトでもリニューアルの際には再連携を求められるのはよくあるので）

ブラウザからの投稿に成功しました。ありがとうございました。しかし、以前でもPCのブラウザで、fマークのボタンからは投稿できたのですよね…釈然としないところはあります。

少し前ですが、次のようなトピックがあります。
https://bookmeter.com/communities/2/topics/12732
こちらの方法を試行してもだめでしょうか？
一度お試し下さい。